Cách lập phương trình đường tròn Môn Toán lớp 10

Bài 5: Phương trình lối tròn trặn – Toán 10 Cánh Diều

Bạn đang xem: Cách lập phương trình đường tròn Môn Toán lớp 10

=======

1.1. Phương trình lối tròn

Phương trình lối tròn trặn ở dạng bên trên thông thường được gọi là phương trình chủ yếu tắc của lối tròn trặn.

Ví dụ 1: Tìm tâm và nửa đường kính của lối tròn trặn (C) sở hữu phương trình: \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16\). Viết phương trình lối tròn trặn (C’) sở hữu tâm J(2; – 1) và sở hữu phân phối kinh gấp hai nửa đường kính lối tròn trặn (C).

Giải

Ta ghi chép phương trình của (C) ở dạng \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – \left( { – 3} \right)} \right)^2} = {4^2}\)

Vậy (C) sở hữu tâm I = (2;- 3) và phân phối kinh R= 4.

Đường tròn trặn (C’) sở hữu tâm J(2; – 1) và sở hữu phân phối kinh R’= 2R= 8, nên sở hữu phương trình \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 64\).  

Chú ý: Do sở hữu có một không hai một lối tròn trặn trải qua tía điểm ko trực tiếp sản phẩm mang đến trước nên tao hoàn toàn có thể lập được phương trình lối tròn trặn cơ lúc biết toạ phỏng của tía điểm phát biểu bên trên.

Ví dụ 2: Viết phương trình lối tròn trặn (C) trải qua tía điểm A(2; 0), B(0; 4), C(-7: 3).

Giải

Các đoạn trực tiếp AB, AC ứng sở hữu trung điểm là M(1 2), \(N\left( { – \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\). Đường trực tiếp trung trực \({\Delta _1}\) của đoạn thằng AB trải qua M(1, 2) và sở hữu vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} \left( { – 2;{\rm{ }}4} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AB} \left( { – 2;{\rm{ }}4} \right)\) nằm trong phương với \(\overrightarrow n \left( {1; – 2} \right)\) nên \({\Delta _1}\) cũng nhận \(\overrightarrow n \left( {1; – 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến.

Do cơ, phương trình của \({\Delta _1}\) là

1(x – 1) – 2(y – 2)= 0 hoặc x – 2y + 3 = 0.

Đường trực tiếp trung trực \({\Delta _2}\) của đoạn trực tiếp AC trải qua \(N\left( { – \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\) và sở hữu vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AC} \left( { – 9,{\rm{ }}3} \right)\).

Vi A \( \in \) (-9; 3) nằm trong phương với n; (3 – 1) nên Az cũng nhận n; (3 – 1) là vectơ pháp tuyến.

Do cơ, phương trinh tiết của \({\Delta _2}\) là

\(3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) – 1\left( {y – \frac{3}{2}} \right) = 0\) hay \(3x – hắn + 9 = 0\) 

Tâm I của lối tròn trặn (C) cơ hội đều tía điểm A, B, C nên I là phú điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Vậy toạ phỏng của I là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x – 2y + 3 = 0\\
3x – hắn + 9 = 0
\end{array} \right.\)

Suy rời khỏi I(-3; 0). Đường tròn trặn (C) sở hữu nửa đường kính là IA = 5. Vậy phương trình của (C) là \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} = 25\). 

1.2. Phương trình tiếp tuyến của lối tròn

Ví dụ: Cho lối tròn trặn (C) sở hữu phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 5\). Điểm M(0; 1) sở hữu nằm trong lối tròn trặn (C) hoặc không? Nếu sở hữu, hãy ghi chép phương trình tiếp tuyến bên trên M của (C).

Giải

Do \({\left( {0 + 1} \right)^2} + {\left( {1 – 3} \right)^2} = 5\), nên điểm M nằm trong (C).

Đường tròn trặn (C) sở hữu tâm là I(-1; 3). Tiếp tuyến của (C) bên trên M(0; 1) sở hữu vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MI}  = \left( { – 1;2} \right)\), nên sở hữu phương trình 

\( – 1\left( {x – 0} \right) + 2\left( {y – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 2y + 2 = 0\).

Câu 1: Viết phương trình lối tròn trặn tâm I(6 ; – 4) trải qua điểm A(8 ; – 7).

Hướng dẫn giải

Phương trình lối tròn trặn tâm I  nửa đường kính \(IA = \left| {\overrightarrow {IA} } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}}  = \sqrt {13} \) là:

\({\left( {x – 6} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 13\)

Câu 2: Lập phương trình lối tròn trặn trải qua tía điểm A(1; 2), B(5; 2), C(1 ; – 3).

Hướng dẫn giải

Giả sử  tâm lối tròn trặn là vấn đề \(I\left( {a;b} \right)\). Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\)

Vì \(I{A^2} = I{B^2},I{B^2} = I{C^2}\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 – a} \right)^2} + {\left( {2 – b} \right)^2} = {\left( {5 – a} \right)^2} + {\left( {2 – b} \right)^2}\\{\left( {5 – a} \right)^2} + {\left( {2 – b} \right)^2} = {\left( {1 – a} \right)^2} + {\left( { – 3 – b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = \frac{{ – 1}}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(I\left( {3; – \frac{1}{2}} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {41} }}{2}\)

Vậy phương trình lối tròn trặn trải qua 3 điểm A,B, C là: \({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{41}}{4}\)

Câu 3: Lập phương trình tiếp tuyến bên trên điểm \(M\left( { – {\rm{ }}1{\rm{ }};-4} \right)\) nằm trong lối tròn\({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y + 7} \right)^2} = 25\)

Hướng dẫn giải

Đường tròn trặn sở hữu tâm \(I\left( {3; – 7} \right)\).

Phương trình tiếp tuyến bên trên điểm \(M\left( { – {\rm{ }}1{\rm{ }};-4} \right)\) nằm trong lối tròn trặn \({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y + 7} \right)^2} = 25\) là: \(\left( { – 1 – 3} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( { – 4 + 7} \right)\left( {y + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  – 4\left( {x + 1} \right) + 3\left( {y + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  – 4x + 3y + 8 = 0\)  

============

Thuộc ngôi nhà đề: Chương 7: Phương pháp tọa phỏng vô mặt mày phẳng

Xem thêm: Phân tích bài thơ "Tại lầu Hoàng Hạc tiễn Mạnh Hạo Nhiên đi Quảng Lăng" Môn Ngữ văn Lớp 10