Đại số

Đại số là 1 trong phân nhánh rộng lớn của toán học tập, cùng theo với lý thuyết số, hình học tập và giải tích. Theo nghĩa công cộng nhất, đại số là sự nghiên cứu và phân tích về ký hiệu toán học tập và những quy tắc cho những thao tác những ký hiệu trên; nó là 1 trong chủ thể thống nhất của đa số toàn bộ nghành nghề dịch vụ của toán học tập.^[1] Như vậy, đại số bao hàm toàn bộ tất cả kể từ Giải phương trình cung cấp tè học tập cho tới những nghiên cứu và phân tích trừu tượng như group, đai và ngôi trường. Phần cơ bạn dạng rộng lớn của đại số được gọi là đại số sơ cung cấp, phần trừu tượng rộng lớn của chính nó được gọi là đại số trừu tượng hoặc đại số tân tiến. Đại số sơ cung cấp thông thường được xem là quan trọng cho tới ngẫu nhiên nghiên cứu và phân tích toán học tập, khoa học tập, hoặc chuyên môn nào là, cũng giống như những phần mềm không giống giống như những ngành hắn học tập và tài chính. Đại số trừu tượng là 1 trong nghành nghề dịch vụ cần thiết nhập Toán học tập tiên tiến và phát triển, là đối tượng người sử dụng nghiên cứu và phân tích đa số của những căn nhà toán học tập có trách nhiệm. Hầu không còn những trở thành tựu trước tiên của môn đại số đều phải sở hữu xuất xứ giờ Ả Rập như cái thương hiệu của chính nó vẫn khêu ý, đã và đang được những căn nhà toán học tập người Ba Tư nghiên cứu và phân tích bên trên Trung Đông^[2][3] như Al-Khwārizmī (780–850)^[4] và Omar Khayyam (1048–1131).^[5]

Đại số sơ cung cấp không giống số học tập trong các công việc dùng những định nghĩa trừu tượng, ví dụ như dùng vần âm để thay thế cho tới số lượng hoặc là không biết hoặc được cho phép có rất nhiều độ quý hiếm.^[6] Ví dụ, nhập phương trình vần âm là không biết, tuy nhiên luật nghịch ngợm hòn đảo rất có thể được dùng nhằm dò xét đi ra độ quý hiếm của nó: Trong biểu thức E = mc², những vần âm và là những đổi mới số, còn vần âm là 1 trong hằng số, vận tốc khả năng chiếu sáng nhập chân ko. Đại số dẫn đến cách thức nhằm giải phương trình và thể hiện nay công thức đơn giản và dễ dàng rộng lớn (đối với những người dân biết thực hiện thế nào là nhằm dùng chúng) đối với cách thức cũ sử dụng ngôn từ ghi chép đi ra toàn bộ tất cả vị lời nói.

Từ đại số cũng khá được dùng nhập cơ hội thường xuyên ngành chắc chắn. Các phân ngành của đối tượng người sử dụng toán học tập nhập đại số trừu tượng được gọi là "đại số", và kể từ này được dùng trong những cụm kể từ như đại số tuyến tính và tô pô đại số.

Từ nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

"Đại số" là 1 trong kể từ Hán-Việt (代數), chỉ cho tới việc dùng ký hiệu nhằm thay mặt cho những số lượng. Từ này được căn nhà toán học tập Trung Quốc Lý Thiện Lan (李善蘭) dịch đi ra kể từ định nghĩa kể từ Tây phương. Trong những ngôn từ Tây phương, kể từ đại số (algebra) vạc mối cung cấp kể từ giờ Ả Rập الجبر (al-jabr, Tức là phục chế). Nó được lấy kể từ tựa đề cuốn sách Ilm al-jabr wa'l-muḳābala của al-Khwarizmi.

Đại số như 1 phân nhánh của toán học[sửa | sửa mã nguồn]

Đại số chính thức với những đo lường và tính toán tương tự động như số học tập, với vần âm thay cho cho tới chữ số.^[6] Như vậy được cho phép minh chứng những toan lý hoặc công thức là chính tuy nhiên ko cần quan hoài cho tới những số với tương quan. Ví dụ, nhập phương trình bậc hai

rất có thể là ngẫu nhiên số nào là (ngoại trừ cần không giống ), và công thức giải phương trình bậc nhị rất có thể được dùng nhanh gọn và đơn giản và dễ dàng nhìn thấy những độ quý hiếm của đổi mới số .

Trong quy trình cách tân và phát triển, đại số đã và đang được không ngừng mở rộng cho tới những đối tượng người sử dụng ko cần số không giống, ví dụ như vectơ, quỷ trận và nhiều thức. Sau cơ, những tính chất cấu tạo của những đối tượng người sử dụng ko cần số này được tóm lược nhằm xác lập những cấu tạo đại số như group, đai và ngôi trường.

Trước thế kỷ 16, toán học tập được tạo thành nhị nghành nghề dịch vụ số học tập và hình học tập. Mặc mặc dù một vài cách thức đã và đang được cách tân và phát triển từ xưa, rất có thể được xem là đại số, tuy nhiên sự xuất hiện nay của đại số, và ko lâu tiếp sau đó, những quy tắc vi phân và tích phân như 1 nghành nghề dịch vụ của toán học tập chỉ mất kể từ thế kỷ 16 hoặc 17. Từ nửa sau của thế kỷ 19 trở cút, nhiều nghành nghề dịch vụ mới nhất của toán học tập xuất hiện nay, đa số nhập số này đã dùng cả số học tập và hình học tập, và gần như là toàn bộ nhập số này đều dùng đại số.

Ngày ni, đại số vẫn cách tân và phát triển cho tới Khi nó vẫn bao hàm nhiều ngành của toán học tập, như rất có thể thấy nhập Phân loại Chủ đề Toán học^[7] điểm không tồn tại nghành nghề dịch vụ nào là nhập số những nghành nghề dịch vụ cường độ trước tiên (với nhị chữ số) được gọi là đại số. Ngày ni đại số bao hàm những phần 08 – Hệ thống đại số công cộng, 12 – Lý thuyết ngôi trường và nhiều thức, 13 – Đại số uỷ thác hoán, 15 – Đại số tuyến tính và đại số nhiều tuyến; Lý thuyết quỷ trận, 16 – Vành phối hợp và đại số, 17 – Vành ko phối hợp và đại số, 18 – Lý thuyết thể loại; đại số đồng điều, 19 – Thuyết K và đôi mươi – Lý thuyết group. Đại số cũng khá được dùng thoáng rộng nhập 11 – Lý thuyết số và 14 – Hình học tập đại số.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Lịch sử thuở đầu của đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Cội mối cung cấp của đại số với xuất xứ kể từ người Babylon cổ kính,^[8] vốn liếng vẫn cách tân và phát triển một khối hệ thống số học tập tiên tiến và phát triển mà người ta vẫn rất có thể thực hiện những quy tắc tính bám theo phong thái thuật toán. Người Babylon vẫn cách tân và phát triển những công thức nhằm đo lường và tính toán những lời nói giải cho những Việc tuy nhiên thời nay thông thường được giải quyết và xử lý bằng phương pháp dùng phương trình tuyến tính, phương trình bậc nhị, và phương trình tuyến tính ko xác lập. trái lại, đa số người Ai Cập của thời đại này, cũng giống như những căn nhà toán học tập Hy Lạp và Trung Quốc nhập thiên niên kỷ 1 TCN, thông thường giải những phương trình vì vậy vị cách thức hình học tập, ví dụ điển hình giống như những tế bào mô tả nhập sách toán ghi chép trong giấy vệ sinh sậy Rhind, Cơ sở của Euclid và Cửu chương toán thuật. Lời giải vị hình học tập của những người Hy Lạp, vượt trội nhập cuốn Cơ sở, cung cung cấp một phạm vi cho tới việc bao quát công thức không chỉ là giành cho lời nói giải của những Việc rõ ràng mà còn phải đem bọn chúng vào trong 1 khối hệ thống công cộng rộng lớn nhằm tế bào mô tả và giải phương trình, tuy nhiên điều này sẽ không còn được tiến hành cho tới Khi toán học tập cách tân và phát triển nhập Hồi giáo thời kỳ Trung Cổ.^[9]

Đến thời của Plato, toán học tập Hy Lạp vẫn trải qua loa một sự thay cho thay đổi uy lực. Người Hy Lạp cổ kính dẫn đến một dạng đại số hình học tập, nhập cơ những kể từ ngữ được thay mặt vị những mặt mũi của những đối tượng người sử dụng hình học tập, thông thường là những dòng sản phẩm kẻ với những vần âm links ở kề bên.^[6] Diophantus (thế kỷ 3) là 1 trong căn nhà toán học tập Hy Lạp ở Alexandria và là người sáng tác của hàng loạt những cuốn sách mang tên Arithmetica. Những cuốn sách này triệu tập nhập việc giải quyết và xử lý phương trình đại số,^[10] và đã mang lý thuyết số cho tới với phương trình Diophantos.

Các cách thức đại số hình học tập vẫn thảo luận phía trên với tác động thẳng cho tới căn nhà toán học tập người Ba Tư Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (khoảng 780 – 850). Ông tiếp sau đó vẫn ghi chép cuốn sách Cách đo lường và tính toán dựa vào Phục hồi và cân nặng bằng. Cuốn sách này vẫn đầu tiên đem đại số trở thành một phân nhánh song lập của toán học tập, tách rời đại số ngoài hình học tập và số học tập.^[11]

Các căn nhà toán học tập thời Hellenistic Hero của Alexandria và Diophantus^[12] cũng giống như những căn nhà toán học tập bấm Độ như Brahmagupta tiếp tục truyền thống lâu đời của Ai Cập và Babylon, tuy nhiên kiệt tác của Arithmetica của Diophantus và kiệt tác Brāhmasphuṭasiddhānta của Brahmagupta ở quý phái cao hơn nữa.^[13] Ví dụ, biện pháp số học tập khá đầy đủ trước tiên (bao bao gồm cả những nghiệm là số ko và số âm) của phương trình bậc nhị được Brahmagupta tế bào mô tả nhập cuốn sách Brahmasphutasiddhanta. Sau cơ, những căn nhà toán học tập Ba Tư và Ả Rập cách tân và phát triển cách thức đại số ở một cường độ tinh xảo cao hơn nữa nhiều. Mặc mặc dù Diophantus và người Babylon dùng cách thức bên trên địa điểm đặc trưng nhằm giải quyết và xử lý những phương trình, góp phần của Al-Khwarizmi là cơ bạn dạng. Ông vẫn giải quyết và xử lý phương trình tuyến tính và phương trình bậc nhị tuy nhiên ko sử dụng hình tượng đại số, số âm hoặc số ko, bởi vậy ông vẫn cần tách biệt phương trình bậc nhị tổng quát tháo trở thành một vài loại phương trình không giống nhau.^[14]

Trong toàn cảnh đại số được xác lập với những lý thuyết của phương trình, căn nhà toán học tập người Hy Lạp Diophantus được nghe biết như thể "cha đẻ của đại số" tuy nhiên trong thời hạn thời gian gần đây có rất nhiều cuộc tranh biện về sự liệu al-Khwarizmi, người tạo nên đi ra quy tắc thay đổi al-jabr (khôi phục), xứng danh rộng lớn với thương hiệu bên trên.^[15] Những người cỗ vũ Diophantus chỉ ra rằng thực tiễn là những quy tắc thay đổi đại số nhập Al-Jabr với phần sơ cung cấp rộng lớn Khi đối chiếu với những quy tắc thay đổi đại số nhập Arithmetica và Arithmetica cụt gọn gàng rộng lớn trong lúc Al-Jabr trọn vẹn sử dụng ngôn từ thông thường.^[16] Những người cỗ vũ Al-Khwarizmi chỉ ra rằng thực tiễn là ông vẫn reviews cách thức "giảm" và "cân bằng" (bỏ cút hoặc trừ cút cả nhị vế của phương trình cho tới và một số), kể từ cơ với thuật ngữ al-jabr,^[17] và ông vẫn lý giải khá đầy đủ về kiểu cách giải phương trình bậc nhị,^[18] tất nhiên là những minh chứng vị hình học tập, trong lúc coi đại số là 1 trong ngành song lập của riêng biệt nó.^[19] Đại số của ông đã và đang không hề tương quan "với hàng loạt những Việc rất cần phải giải quyết và xử lý, tuy nhiên đang trở thành một cuộc triển lãm chính thức với những định nghĩa vẹn toàn thủy, nhập cơ những tình huống thể hiện cần bao hàm toàn bộ tài năng rất có thể cho tới phương trình, điều này vẫn chứng thật đối tượng người sử dụng thực sự của việc nghiên cứu". Ông cũng nghiên cứu và phân tích phương trình ko tùy theo Việc và "một cơ hội chung quy, phương trình không chỉ là đơn giản và giản dị là xuất hiện nay nhập quy trình giải quyết và xử lý một Việc, tuy nhiên nó được dẫn đến nhằm giải quyết và xử lý vô số Việc nằm trong loại".^[20]

Một căn nhà toán học tập người Ba Tư không giống là Omar Khayyám đã và đang được ghi công với việc xác lập những nền tảng của hình học tập đại số và nhìn thấy cơ hội giải vị cách thức hình học tập tổng quát tháo của phương trình bậc phụ thân. Tuy nhiên, một căn nhà toán học tập người Ba Tư không giống thương hiệu Sharaf al-Dīn al-Tusi, nhìn thấy cơ hội giải đại số và số học tập cho tới một loạt tình huống không giống nhau của phương trình bậc phụ thân.^[21] Ông cũng cách tân và phát triển những định nghĩa về hàm số.^[22] Các căn nhà toán học tập bấm Độ Mahavira và Bhaskara II, căn nhà toán học tập Ba Tư Al-Karaji,^[23] và căn nhà toán học tập Trung Quốc Chu Thế Kiệt giải quyết và xử lý một vài phương trình bậc phụ thân, tư, năm và bậc cao hơn nữa dùng những cách thức số. Trong thế kỷ 13, cơ hội giải một phương trình bậc phụ thân của Fibonacci là thay mặt cho tới khởi điểm của hồi sinh nhập nghiên cứu và phân tích đại số ở châu Âu. Khi trái đất Hồi giáo dần dần suy vi, trái đất châu Âu dần dần cách tân và phát triển. Và kể từ cơ đại số vẫn cách tân và phát triển hơn thế nữa.

Lịch sử đại số hiện nay đại[sửa | sửa mã nguồn]

François Viète là kẻ vẫn với những nghiên cứu và phân tích mới nhất về đại số nhập thời điểm cuối thế kỷ 16. Năm 1637, René Descartes xuất bạn dạng cuốn La Géométrie, vạc loài kiến đi ra hình học tập giải tích và reviews ký hiệu đại số tân tiến. Các sự khiếu nại cần thiết lưu lại sự cách tân và phát triển của đại số là biện pháp đại số công cộng của phương trình bậc phụ thân và bậc tư, được cách tân và phát triển nhập vào giữa thế kỷ 16. Ý tưởng về toan thức được căn nhà toán học tập Nhật Seki Kōwa cách tân và phát triển nhập thế kỷ 17, cùng theo với nghiên cứu và phân tích song lập của Gottfried Leibniz 10 năm tiếp sau đó nhằm mục đích giải quyết và xử lý hệ phương trình tuyến tính dùng quỷ trận. Gabriel Cramer đã và đang nghiên cứu và phân tích về quỷ trận và toan thức nhập thế kỷ 18. Hoán vị được Joseph-Louis Lagrange phân tách nhập luận văn năm 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations, triệu tập nhập những lời nói giải của phương trình đại số, nhập cơ ông reviews nhiều thức rời bậc Lagrange. Paolo Ruffini là kẻ trước tiên cách tân và phát triển những lý thuyết về group thiến, và cũng giống như những người cút trước, triệu tập nhập việc giải phương trình đại số.

Đại số trừu tượng đã và đang được cách tân và phát triển nhập thế kỷ 19, bắt nguồn từ sự quan hoài cho tới việc giải quyết và xử lý những phương trình, thuở đầu triệu tập nhập những gì lúc này được gọi là lý thuyết Galois, và về những yếu tố số với tài năng xây đắp.^[24] George Peacock là kẻ tạo nên trí tuệ định đề nhập số học tập và đại số. Augustus De Morgan vạc loài kiến đi ra đại số mối liên hệ nhập cuốn sách Syllabus of a Proposed System of Logic. Josiah Willard Gibbs cách tân và phát triển đại số của những vectơ nhập không khí phụ thân chiều, và Arthur Cayley cách tân và phát triển đại số của quỷ trận (đây là 1 trong đại số ko uỷ thác hoán).^[25]

Các nghành nghề dịch vụ toán học tập mang tên gắn kèm với đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Một số nghành nghề dịch vụ của toán học tập thuộc sở hữu đại số trừu tượng mang tên gắn kèm với đại số; đại số tuyến tính là 1 trong ví dụ. Một số không giống ko mang tên gắn kèm với đại số, ví dụ như lý thuyết group, lý thuyết đai và lý thuyết ngôi trường. Trong phần này tiếp tục liệt kê một vài nghành nghề dịch vụ của toán học tập với kể từ "đại số" nhập thương hiệu.

Xem thêm: mon ly 10

• Đại số sơ cung cấp là phần đại số thông thường được dạy dỗ trong những khóa huấn luyện cơ bạn dạng của toán học tập.
• Đại số trừu tượng, nhập cơ những cấu tạo đại số như group, đai và ngôi trường được khái niệm và dò xét hiểu.
• Đại số tuyến tính nghiên cứu và phân tích đặc thù của phương trình tuyến tính, không khí vectơ và quỷ trận.
• Đại số uỷ thác hoán, nghiên cứu và phân tích về những đai uỷ thác hoán.
• Đại số PC, nghiên cứu và phân tích cơ hội tiến hành những cách thức đại số như thuật toán và công tác PC.
• Đại số đồng điều, nghiên cứu và phân tích về những cấu tạo đại số tuy nhiên là nền tảng cho tới nghiên cứu và phân tích không khí tôpô.
• Đại số phổ quát tháo, nghiên cứu và phân tích đặc thù của toàn bộ những cấu tạo đại số.
• Lý thuyết số đại số, nhập cơ những tính chất của số được nghiên cứu và phân tích kể từ ý kiến đại số.
• Hình học tập đại số, một Trụ sở của hình học tập, ở dạng vẹn toàn thủy của chính nó xác lập đàng cong và mặt phẳng như lời nói giải của phương trình nhiều thức.
• Tổ phù hợp đại số, nhập cơ cách thức đại số được dùng nhằm nghiên cứu và phân tích những Việc tổng hợp.

Nhiều cấu tạo toán cũng khá được gọi là đại số:

• Đại số bên trên một ngôi trường hoặc đại số bên trên một đai.
  Nhiều group của đại số bên trên một ngôi trường hoặc bên trên một đai với cùng 1 thương hiệu cụ thể:
  • Đại số uỷ thác hoán
  • Đại số ko uỷ thác hoán
  • Đại số Lie
  • Đại số Hopf
  • Đại số C*
  • Đại số đối xứng
  • Đại số ngoài
  • Đại số Tensor
• Trong lý thuyết đo
  • Đại số sigma
  • Đại số bên trên một tập dượt hợp
• Trong lý thuyết phân loại
  • Đại số F và F-coalgebra
  • Đại số T
• Trong logic,
  • Đại số quan tiền hệ: một tập trung những mối liên hệ là đóng góp với những toán tử chắc chắn.
  • Đại số Boole, một cấu tạo trừu tượng hóa những đo lường và tính toán với độ quý hiếm luân lý sai và đúng. Các cấu tạo cũng có thể có nằm trong thương hiệu.
  • Đại số Heyting

Đại số sơ cấp[sửa | sửa mã nguồn]

Đại số sơ cấp là kiểu dáng cơ bạn dạng nhất của đại số. Nó được dạy dỗ cho tới những học viên không tồn tại kỹ năng nào là về toán học tập ngoài các qui định cơ bạn dạng của số học tập. Trong số học tập, chỉ số và quy tắc toán số học tập (chẳng hạn như +, -, ×, ÷) được sử dụng. Trong đại số, số thông thường được màn biểu diễn vị những ký hiệu được gọi là đổi mới số (như là a, n, x, y hoặc z). Điều này đặc biệt hữu ích vì:

• Nó được cho phép ghi chép những toan luật công cộng của số học tập (như a + b = b + a cho tới từng a và b), và bởi vậy là bước trước tiên nhằm mày mò một cơ hội khối hệ thống những tính chất của khối hệ thống số thực.
• Nó được cho phép tham lam chiếu cho tới những số "chưa biết", xây đắp những phương trình và nghiên cứu và phân tích thực hiện thế nào là nhằm giải quyết và xử lý bọn chúng. (Ví dụ, "Tìm một vài x sao cho tới 3x + 1 = 10" hoặc ra đi rộng lớn "Tìm một vài x sao cho tới ax + b = c". Cách trừu tượng này kéo theo Kết luận rằng việc giải quyết và xử lý những phương trình ko tương quan cho tới thực chất của những số lượng rõ ràng tuy nhiên chỉ tương quan cho tới cơ hội giải quyết và xử lý những phương trình bên trên.)
• Nó được cho phép tế bào mô tả những mối liên hệ hàm số. (Ví dụ, "Nếu chúng ta bán tốt x vé, thì ROI của các bạn sẽ là 3x − 10 đồng, hoặc f(x) = 3x − 10, nhập cơ f là hàm số, và x là số lượng tuy nhiên hàm số này sẽ tiến hành dùng làm tính toán".)

Đa thức[sửa | sửa mã nguồn]

Một đa thức là 1 trong biểu thức bao gồm tổng của một vài hữu hạn những đơn thức không giống ko, từng đơn thức bao hàm tích của một hằng số và một vài hữu hạn những đổi mới số với số nón là số vẹn toàn. Ví dụ, x² + 2x − 3 là 1 trong nhiều thức của đổi mới số x. Một biểu thức nhiều thức là một biểu thức rất có thể được ghi chép lại như 1 nhiều thức, bằng phương pháp dùng những quy tắc uỷ thác hoán, phối hợp và phân phối quy tắc nằm trong và quy tắc nhân. Ví dụ, (x − 1)(x + 3) là 1 trong biểu thức nhiều thức, nếu như rằng cho tới chính thì nó ko cần là nhiều thức. Một hàm nhiều thức là 1 trong hàm được khái niệm vị một nhiều thức hoặc một biểu thức nhiều thức.. Hai ví dụ bên trên khái niệm và một hàm nhiều thức..

Hai yếu tố cần thiết và với tương quan nhập đại số là những nhân tử của nhiều thức, tức thị thể hiện nay một nhiều thức như là 1 trong tích của những nhiều thức không giống tuy nhiên ko thể rời bậc hơn thế nữa, và việc đo lường và tính toán những ước công cộng lớn số 1 của nhiều thức. Ví dụ nhiều thức bên trên rất có thể được ghi chép trở thành nhân tử như (x − 1)(x + 3). Một group những Việc với tương quan là dò xét nghiệm số của một nhiều thức một đổi mới số vị căn thức.

Giáo dục[sửa | sửa mã nguồn]

Môn đại số sơ cung cấp được khêu ý là rất cần được được dạy dỗ cho tới học viên ở lứa tuổi mươi một,^[26] tuy nhiên trong mỗi năm thời gian gần đây môn này chính thức được dạy dỗ ở cung cấp lớp tám (≈ 13 tuổi) ở Mỹ.^[27]

Tại nước Việt Nam, môn đại số được dạy dỗ như 1 phân môn của môn Toán nhập phụ thân lớp 7, 8, 9 (12, 13, 14 tuổi), và đầu tiên cùng theo với môn Hình học tập được dạy dỗ như 1 môn song lập (Đại số & Hình học) từ thời điểm năm lớp 10 (15 tuổi).

Đại số trừu tượng[sửa | sửa mã nguồn]

Đại số trừu tượng không ngừng mở rộng những định nghĩa thân thuộc nhập đại số sơ cung cấp và số học tập với những số lượng cho tới những định nghĩa tổng quát tháo rộng lớn. Dưới đấy là liệt kê những định nghĩa cơ bạn dạng nhập đại số trừu tượng.

Tập hợp: Thay vì thế chỉ kiểm tra những loại số không giống nhau, đại số trừu tượng thao tác với những định nghĩa tổng quát tháo rộng lớn - tập dượt hợp: hàng loạt của toàn bộ những đối tượng người sử dụng (gọi là phần tử) được lựa lựa chọn bám theo một Điểm sáng nào là cơ. Tất cả những group những loại số thân thuộc đều là những tập trung. Ví dụ không giống về tập trung bao hàm tập trung của toàn bộ quỷ trận hai-nhân-hai, tập trung toàn bộ những nhiều thức bậc nhị (ax² + bx + c), tập trung của toàn bộ những vectơ hai phía nhập một phía bằng phẳng, và một loạt group hữu hạn giống như những group cyclic, này đó là group những số vẹn toàn đồng dư modulo n. Lý thuyết tập trung là 1 trong nhánh của logic và về mặt mũi lý thuyết ko cần là 1 trong nhánh của đại số.

Phép toán nhị ngôi: Dấu của quy tắc nằm trong (+) được trừu tượng hóa nhằm sử dụng cho quy tắc toán nhị ngôi, ví dụ điển hình quy tắc ∗. Các định nghĩa về quy tắc toán nhị ngôi là bất nghĩa nếu như tập trung tuy nhiên bên trên cơ những quy tắc toán bên trên được khái niệm. Đối với nhị thành phần a và b nhập một tập dượt S, a ∗ b cũng là 1 trong thành phần cúa S; ĐK này được gọi là tính đóng góp của tập trung so với quy tắc toán. Phép nằm trong (+), quy tắc trừ (−), quy tắc nhân (×, ·), và quy tắc phân tách (÷, /, :) rất có thể là quy tắc toán nhị ngôi Khi xác lập bên trên những tập trung không giống nhau, gần giống quy tắc nằm trong và quy tắc nhân những quỷ trận, vectơ và nhiều thức.

Phần tử đơn vị: Những số lượng 0 và 1 được trừu tượng hóa muốn tạo đi ra định nghĩa về một phần tử đơn vị cho 1 quy tắc toán. 0 là thành phần đơn vị chức năng được cho phép nằm trong và một là thành phần đơn vị chức năng được cho phép nhân. Đối với cùng 1 quy tắc toán nhị ngôi ∗ thành phần đơn vị chức năng e cần thỏa mãn nhu cầu a ∗ e = a và e ∗ a = a, và nế như đó tồn bên trên thì nó cần là độc nhất. Như vậy chính với quy tắc nằm trong vì thế a + 0 = a và 0 + a = a và quy tắc nhân Khi a × 1 = a và 1 × a = a. Không cần toàn bộ những tập trung và quy tắc toán nhị ngôi đều phải sở hữu thành phần đơn vị; Ví dụ, tập trung số đương nhiên (1, 2, 3,...) không tồn tại thành phần đơn vị chức năng được cho phép nằm trong.

Phần tử nghịch ngợm đảo: Các số âm đã mang đi ra định nghĩa những thành phần nghịch ngợm hòn đảo. Đối với quy tắc nằm trong, thành phần nghịch ngợm hòn đảo của a được ghi chép là -a, và được cho phép nhân thành phần này được ghi chép là a⁻¹. Một nguyên tố hòn đảo ngược tổng quát tháo a⁻¹ thỏa mãn nhu cầu nằm trong tính: a * a⁻¹ = e và a⁻¹ * a = e, nhập cơ e là thành phần đơn vị chức năng.

Tính kết hợp: Phép với những số vẹn toàn với cùng 1 tính chất được gọi là phối hợp. Nghĩa là, việc group những số được thêm vô ko tác động cho tới tổng. Ví dụ: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Nói công cộng, điều này phát triển thành (a * b) * c = a * (b * c). Thuộc tính này là chính với đa số những quy tắc toán nhị phân, trừ quy tắc trừ hoặc quy tắc phân tách hoặc quy tắc nhân octonon.

Tính uỷ thác hoán: Phép nằm trong và quy tắc nhân của số thực đều là uỷ thác hoán. Như vậy tức thị trật tự của những số ko tác động cho tới thành phẩm. Ví dụ: 2 + 3 = 3 + 2. Nói công cộng, điều này tiếp tục phát triển thành a * b = b * a. Thuộc tính này sẽ không chính cho tới toàn bộ những quy tắc toán nhị phân. Ví dụ, quy tắc nhân quỷ trận và quy tắc phân tách bậc tư đều ko uỷ thác hoán.

Nhóm[sửa | sửa mã nguồn]

Kết phù hợp những định nghĩa bên trên cho 1 trong mỗi cấu tạo cần thiết nhất nhập toán học: group. Một group là sự việc phối hợp của một tập trung S và một quy tắc toán nhị phân độc nhất, được xác lập bám theo ngẫu nhiên cơ hội nào là chúng ta lựa chọn, với những tính chất sau:

• Một thành phần đơn vị chức năng e tồn bên trên, sao cho từng member a nằm trong S, e ∗ a và a ∗ e đều vị a.
• Mỗi thành phần đều phải sở hữu thành phần nghịch ngợm đảo: so với từng member a nằm trong S, tồn bên trên một member a⁻¹ sao cho tới a ∗ a⁻¹ và a⁻¹ ∗ a đều vị thành phần đơn vị chức năng e.
• Phép toán mang ý nghĩa kết hợp: nếu như a, b và c là những member của S, thì (a ∗ b) ∗ c vị a ∗ (b ∗ c).

Nếu một group cũng có thể có tính uỷ thác hoán - tức thị, với ngẫu nhiên nhị member a và b của S, a * b vị b * a - thì group được gọi là group uỷ thác hoán hoặc group Abel.

Vành và trường[sửa | sửa mã nguồn]

Các chủ thể chính[sửa | sửa mã nguồn]

Dưới đấy là một vài chủ thể chủ yếu của đại số:

• Các không thay đổi đại số
• Các nhiều thức
• Các đại số có tên người
• Các đẳng thức đại số
• Các đàng cong đại số
• Các đàng cong elíp
• Các nhân thức
• Các group sóng
• Các quy tắc thay đổi đại số
• Các phương trình đại số
• Các đặc thù đại số
• Các tổng đại số
• Cyclotomy
• Dạng bình phương
• Đại số đồng điều
• Đại số ko uỷ thác hoán
• Đại số phổ dụng
• Đại số tuyến tính
• Đại số tổng quát
• Đại số véc-tơ
• Đại số vô hướng
• Hình học tập đại số
• Lý thuyết giá chỉ trị
• Lý thuyết mã hoá
• Lý thuyết nhóm
• Lý thuyết nửa nhóm
• Lý thuyết số
• Lý thuyết ngôi trường đại số
• Lý thuyết vành

Phương trình đại số[sửa | sửa mã nguồn]

• Phương trình tuyến tính
• Phương trình bậc hai
• Phương trình bậc ba
• Phương trình lũy thừa
• Phương trình đạo hàm

Linh tinh[sửa | sửa mã nguồn]

Từ đại số còn được dùng cho những cấu tạo đại số khác:

Xem thêm: Soạn bài "Khái quát lịch sử tiếng Việt" Môn Ngữ văn Lớp 10

• Đại số bên trên ngôi trường (K-algebra)
• Đại số bên trên tập dượt hợp
• Đại số Bool
• Đại số sigma (σ-algebra)

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

• Hệ thống đại số máy tính
• Diophantus, "cha đẻ của đại số"
• Mohammed al-Khwarizmi, được nghe biết như thể "cha đẻ của đại số". [1]

Sách tham lam khảo[sửa | sửa mã nguồn]

• Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics , John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-54397-7
• Donald R. Hill, Islamic Science and Engineering (Edinburgh University Press, 1994).
• Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, and Borin Van Loon, Introducing Mathematics (Totem Books, 1999).
• George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Penguin Books, 2000).
• John J O'Connor and Edmund F Robertson, History Topics: Algebra Index. In MacTutor History of Mathematics archive (University of St Andrews, 2005).
• I.N. Herstein: Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X
• R.B.J.T. Allenby: Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6
• L. Euler: Elements of Algebra Lưu trữ 2011-04-13 bên trên Wayback Machine, ISBN 978-1-899618-73-6
• Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Tiếng Anh[sửa | sửa mã nguồn]

• Khan Academy: Conceptual videos and worked examples
• Khan Academy: Origins of Algebra, miễn phí online micro lectures Lưu trữ 2013-05-09 bên trên Wayback Machine
• Algebrarules.com: An open source resource for learning the fundamentals of Algebra
• 4000 Years of Algebra Lưu trữ 2007-10-04 bên trên Wayback Machine, lecture by Robin Wilson, at Gresham College, ngày 17 mon 10 trong năm 2007 (available for MP3 and MP4 tải về, as well as a text file).
• Pratt, Vaughan. “Algebra”. Trong Zalta, Edward N. (biên tập). Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Wikimedia Commons được thêm hình hình họa và phương tiện đi lại truyền đạt về Đại số.