hàm số

Trong toán học tập, một hàm số^{[note 1]} hoặc hàm là 1 trong những mối quan hệ nhị ngôi thân thuộc nhị tập kết links từng thành phần của tập kết thứ nhất với đích thị một thành phần của tập kết loại nhị. Ví dụ nổi bật là những hàm kể từ số nguyên vẹn lịch sự số nguyên vẹn hoặc kể từ số thực lịch sự số thực.

Các hàm số lúc đầu là sự việc hoàn hảo hóa cơ hội một đại lượng thay cho thay đổi tùy thuộc vào một đại lượng không giống. Ví dụ, địa điểm của một hành tinh ranh là 1 trong những hàm số của thời hạn. Về mặt mày lịch sử dân tộc, định nghĩa này được xây cất dựa vào phép tắc tính vi tích phân nhập vào cuối thế kỷ 17, và cho tới thế kỷ 19, những hàm được xem như là khả vi (nghĩa là bọn chúng với cường độ mịn cao). Khái niệm hàm số được đầu tiên hóa nhập vào cuối thế kỷ 19 bên dưới dạng lý thuyết tập kết, và điều này tiếp tục không ngừng mở rộng đáng chú ý những nghành nghề phần mềm của định nghĩa này.

Bạn đang xem: hàm số

Một hàm số là 1 trong những quy trình hoặc một quan hệ nhưng mà links từng thành phần x của một tập kết X, được gọi là miền xác định của hàm số, cho tới một thành phần y có một không hai của một tập kết Y (có thể là và một tập kết như X), và gọi là tập thích hợp đích của hàm số này. Hàm số thông thường được ký hiệu vị những vần âm như f, g và h.^[1]

Nếu hàm được gọi là f, mối quan hệ này được ký hiệu là y = f (x) (đọc là " f của x "), nhập ê thành phần x là đối số hoặc đầu vào của hàm và y là giá trị của hàm, đầu ra hoặc ảnh của x theo đòi f .^[2] Ký hiệu được dùng nhằm trình diễn nguồn vào là đổi thay của hàm (ví dụ: f là hàm của đổi thay x).^[3]

Một hàm số được trình diễn có một không hai vị tập kết toàn bộ những cặp số (x, f (x)), được gọi là đồ dùng thị của hàm số. ^{[note 2][4]} Khi miền và miền là tập kết những số thực, từng cặp như thế rất có thể được xem như là tọa phỏng Descartes của một điểm nhập mặt mày bằng. Tập thích hợp những đặc điểm đó được gọi là đồ dùng thị của hàm số; nó là 1 trong những phương tiện đi lại thông dụng nhằm minh họa một hàm số.

Các hàm số được dùng thoáng rộng nhập khoa học tập và nhập đa số những nghành nghề toán học tập. Người tao tiếp tục bảo rằng những hàm là "đối tượng trung tâm của nghiên cứu" nhập đa số những nghành nghề toán học tập.^[5]

Khái niệm[sửa | sửa mã nguồn]

Nói một cơ hội trực quan liêu, hàm là 1 trong những quy trình links từng thành phần của tập kết X với cùng một thành phần của tập kết Y.

Về mặt mày kiểu dáng, một hàm f kể từ luyện X cho tới luyện Y được xác lập vị luyện G bao gồm những cặp với trật tự (x, y) sao mang lại x ∈ X, y ∈ Y, và từng thành phần của X là bộ phận thứ nhất của đích thị một cặp với trật tự ghép song nhập G ^{[6] [note 3]} Nói cách tiếp, với từng x nhập X, với đích thị một thành phần y sao mang lại cặp với trật tự (x, y) nằm trong luyện những cặp xác lập hàm f . Tập thích hợp G được gọi là đồ dùng thị của hàm số. Về mặt mày kiểu dáng, nó rất có thể được xác lập với hàm số bên trên, tuy nhiên điều này che giấu quanh cơ hội lý giải thường thì về một tính năng như 1 quy trình. Do ê, nhập cơ hội dùng thường thì, hàm số thông thường được phân biệt với đồ dùng thị của chính nó.

Hàm còn được gọi là ánh xạ, tuy vậy một vài người sáng tác phân biệt thân thuộc "ánh xạ" và "hàm số".

Trong khái niệm về hàm số, X và Y ứng được gọi là tập/miền xác định và tập đích/ miền giá chỉ trị của hàm f ^[7] Nếu (x, y) nằm trong luyện xác lập f, thì y là ảnh của x trải qua f, hoặc giá trị của f được vận dụng mang lại đối số x . điều đặc biệt, nhập văn cảnh của những số lượng, người tao cũng bảo rằng y là độ quý hiếm của f so với giá trị x của đổi thay của nó, hoặc ngắn ngủi gọn gàng rộng lớn, y là giá trị của f của x, được ký hiệu là y = f(x) .

Hai hàm f và g là cân nhau, nếu như miền và tập kết miền xác lập của bọn chúng như là nhau và độ quý hiếm Output của bọn chúng như là nhau bên trên toàn miền xác lập ê. Chính thức rộng lớn, f = g nếu như f(x) = g(x) với từng x ∈ X, nhập ê f:X → Y và g:X → Y ^{[8] [9] [note 4]}

Miền xác lập và miền độ quý hiếm ko cần khi này cũng rất được hỗ trợ rõ nét Lúc một hàm được xác lập và, nếu như không tồn tại một vài đo lường và tính toán (có thể khó), người tao rất có thể chỉ hiểu được miền được chứa chấp nhập một tập kết to hơn. Thông thông thường, điều này xẩy ra nhập giải tích toán học tập, nhập ê "một hàm từ X cho tới Y " thông thường nhắc đến một hàm rất có thể với cùng một luyện con cái quí hợp^{[note 5]} của X là miền xác lập. Ví dụ, một "hàm kể từ độ quý hiếm thực cho tới độ quý hiếm thực" rất có thể tham ô chiếu cho tới một hàm có mức giá trị thực của một đổi thay thực. Tuy nhiên, một "hàm kể từ số thực cho tới số thực" ko Có nghĩa là miền của hàm là toàn cỗ luyện những số thực, nhưng mà chỉ mất nghĩa miền là luyện những số thực với chứa chấp khoảng chừng há ko trống rỗng. Khi ê một hàm như thế được gọi là hàm một trong những phần. Ví dụ: nếu như f là 1 trong những hàm với những số thực là miền xác lập và miền độ quý hiếm, thì một hàm ánh xạ độ quý hiếm x với độ quý hiếm là 1 trong những hàm g kể từ miền số thực cho tới miền số thực, với miền xác lập là luyện những số thực x, sao mang lại f(x) ≠ 0 .

Phạm vi của một hàm là tập kết những hình ảnh của toàn bộ những thành phần nhập miền.^[10][11][12] Tuy nhiên, phạm vi thỉnh thoảng được dùng như 1 kể từ đồng nghĩa tương quan của miền độ quý hiếm,^[12][13] hay được dùng trong số sách cũ.

Định nghĩa sử dụng quan liêu hệ[sửa | sửa mã nguồn]

Bất kỳ luyện con cái này của tích Descartes bao gồm nhị tập kết và xác lập một mối quan hệ nhị ngôi thân thuộc nhị tập kết này. Rõ ràng là 1 trong những mối quan hệ tùy ý rất có thể chứa chấp những hai bạn vi phạm những ĐK quan trọng cho 1 hàm số tiếp tục mang lại phía trên.

Một mối quan hệ nhị ngôi là với tính hàm số (còn được gọi là có một không hai mặt mày phải) nếu

Một mối quan hệ nhị phân là với tính tiếp nối nhau (còn được gọi là tổng mặt mày trái) nếu

Một hàm một trong những phần là 1 trong những mối quan hệ nhị ngôi nhưng mà với tính hàm số..

Một hàm số là 1 trong những mối quan hệ nhị ngôi với tính hàm số và tiếp nối nhau.

Các tính chất không giống nhau của hàm số và bộ phận hàm số rất có thể được format lại vị ngôn từ của những mối quan hệ. Ví dụ, một hàm số là đơn ánh nếu như mối quan hệ ngược là với tính hàm số, nhập ê mối quan hệ ngược được khái niệm là ^[14]

Cách mang lại hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm số rất có thể được mang lại vị bảng hoặc vị biểu đồ dùng hoặc vị 1 biểu thức hoặc nhiều biểu thức bên trên từng khoảng chừng, đoạn, nửa khoảng chừng.

Ví dụ: X = {1,2,3,4,5}, Y = {5,6,7,8,9,10}.

Hàm được mang lại bảng sau:

Các hàm mang lại vị biểu thức như , , ...

Lưu ý: Trong công tác môn Toán ở bậc Trung học tập phổ thông của VN (chỉ nhắc đến Hàm số đổi thay số thực) quy ước rằng:

• Khi ko phân tích thêm thắt, miền xác lập (tập xác định) của hàm số mang lại vị biểu thức nó = f(x) là tập kết toàn bộ những độ quý hiếm của x thực hiện mang lại f(x) với nghĩa.

Ví dụ: Hàm số với miền xác lập là hoặc

Hàm số với miền xác lập là

Ví dụ: Miền độ quý hiếm của hàm số là .

• Nếu X,Y thì hàm số được gọi là hàm số thực.

Ví dụ: Hàm lượng giác ,hàm nón ,...

• Nếu X,Y thì hàm số được gọi là hàm số đổi thay số phức.

Ví dụ: Hàm xê dịch ;

• Nếu X thì hàm số được gọi là hàm số số học tập.

Ví dụ: Hàm Euler trình diễn số những số ngẫu nhiên ko vượt lên trước vượt n và nhân tố bên cạnh nhau với n, hàm Sigma trình diễn tổng toàn bộ những ước của số ngẫu nhiên n...

Các dạng của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Đơn ánh, tuy nhiên ánh, toàn ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Như bên trên tiếp tục nhắc, hàm số là 1 trong những tình huống ánh xạ, nên người tao cũng mô tả hàm số bên dưới 3 dạng là đơn ánh, toàn ánh và tuy nhiên ánh.

Đơn ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Một hàm số là đơn ánh Lúc nó vận dụng lên 2 đối số không giống nhau luôn luôn mang lại 2 độ quý hiếm không giống nhau.

Xem thêm: hoc pho thong

Một cơ hội ngặt nghèo, hàm f, xác lập bên trên X và nhận độ quý hiếm nhập Y, là đơn ánh nếu mà nó thỏa mãn nhu cầu ĐK với từng x₁ và x₂ nằm trong X và nếu như x₁ ≠ x₂ thì f(x₁) ≠ f(x₂).

Nghĩa là, hàm số f là đơn ánh Lúc và chỉ khi:

Với đồ dùng thị hàm số nó = f(x) nhập hệ tọa phỏng Đề những, từng đường thẳng liền mạch vuông góc với trục đối số Ox tiếp tục chỉ rời đàng cong đồ dùng thị bên trên tối đa là 1 trong những điểm

Toàn ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm số f được gọi là toàn ánh nếu mà với từng số y nằm trong Y tao luôn luôn tìm ra tối thiểu một vài x nằm trong X sao mang lại f(x) = y. Theo cơ hội gọi của ánh xạ thì ĐK này Có nghĩa là từng thành phần y nằm trong Y đều là ảnh của tối thiểu một tạo ảnh x nằm trong X qua quýt ánh xạ f.

Nghĩa là, hàm số f là toàn ánh Lúc và chỉ khi:

cũng tức là

Đồ thị hàm rời đường thẳng liền mạch

Song ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Trong toán học tập, song ánh, hoặc hàm tuy nhiên ánh, là một hàm số f từ tập X vào tập Y thỏa mãn đặc điểm, so với mỗi y thuộc Y, với có một không hai một x thuộc X sao cho f(x) = y.

Nói cách tiếp, f là một tuy nhiên ánh nếu như và chỉ nế như đó là tương ứng một-một giữa nhị luyện hợp; tức là nó vừa phải là đơn ánh và vừa phải là toàn ánh.

Ví dụ, xét hàm fxác tấp tểnh bên trên luyện hợp số nguyên  vào, được tấp tểnh nghĩa f(x) = x + 1. Ví dụ không giống, so với từng cặp số thực (x,y) hàm f xác tấp tểnh bởi f(x,y) = (x + y, x − y) là một song ánh

Hàm tuy nhiên ánh thỉnh thoảng còn gọi là hoán vị.

Tập thích hợp toàn bộ những tuy nhiên ánh kể từ tập X vào tập Y được ký hiệu là X ↔ Y. Thông thông thường luyện những hoạn của tập X được ký hiệu là X!.

Song ánh đóng góp nhiều tầm quan trọng cần thiết nhập toán học tập, như nó dùng để làm tấp tểnh nghĩa đẳng cấu (và những định nghĩa tương quan như phép đồng phôi và vi phôi), nhóm hoạn, ánh xạ xạ hình ảnh, và nhiều khái niệm khác

Minh hoạ[sửa | sửa mã nguồn]

Đơn ánh tuy nhiên không cần toàn ánh		Toàn ánh nhưng không cần đơn ánh		Song ánh

Hàm thích hợp và hàm ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Cho những hàm số:

trong ê X, Y, Z là những tập kết số rằng công cộng. Hàm hợp của f₁ và f₂ là hàm số:

được khái niệm bởi:

Có thể ký hiệu hàm thích hợp là:

Ví dụ, hàm số f(x) = sin (x²+1) là hàm số thích hợp f₂(f₁(x)), nhập ê f₂(y) = sin(y), f₁(x) = (x² +1).

Việc phân biệt một hàm số là hàm thích hợp của những hàm không giống, trong vô số tình huống rất có thể khiến cho những đo lường và tính toán giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở thành giản dị rộng lớn.

Hàm ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hàm số tuy nhiên ánh:

trong ê X, Y là tập kết số rằng công cộng.Khi ê từng thành phần y = f(x) với y trực thuộc Y đều là hình ảnh của một và có một thành phần x nhập X. Như vậy, rất có thể đặt điều ứng từng thành phần y nhập Y với cùng một thành phần x nhập X. Phép ứng này đã xác lập một hàm số, ánh xạ kể từ Y lịch sự X, hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm số f và được ký hiệu là:

Nếu f⁻¹(x) tồn bên trên tao rằng hàm số f(x) là khả nghịch. cũng có thể rằng đặc điểm tuy nhiên ánh là ĐK cần thiết và đầy đủ nhằm hàm f(x) khả nghịch tặc, tức là nếu như f(x) là tuy nhiên ánh thì tao luôn luôn tìm ra hàm ngược f⁻¹(x) và ngược lại.

Đồ thị của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Thông thông thường thì hàm số được xác lập vị một biểu thức tổng quát tháo y = f(x) này ê, ví như y = x² - 5. Tuy nhiên cũng có thể có những hàm đặc trưng nhưng mà quy tắc mang lại ứng x với y của chính nó không áp theo ngẫu nhiên một quy luật này nhằm rất có thể biểu đạt vị một biểu thức toán học tập. Trong tình huống này tao rất có thể lập bảng cho những độ quý hiếm đối số x và những độ quý hiếm hàm số y ứng với bọn chúng. Dường như hàm số còn rất có thể được xác lập một cơ hội triệt nhằm vị đồ thị của chính nó.

Đối với hàm số một đổi thay số thực (có miền xác lập thực), đồ dùng thị hàm số được khái niệm như sau:

Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập kết những điểm bên trên mặt mày bằng R² với tọa phỏng [x, f(x)].

Ký hiệu đồ dùng thị hàm số theo đòi khái niệm bên trên là:

Xem thêm: Soạn bài "Khái quát lịch sử tiếng Việt" Môn Ngữ văn Lớp 10

Các đặc điểm của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Tính đơn điệu[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử hàm số y= f(x) xác lập bên trên K. Ta nói:

Tính chẵn lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Điều khiếu nại nhằm một hàm số chẵn hoặc lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hàm số y=f(x) xác lập bên trên D

1. Điều khiếu nại tiên quyết nhằm hàm số với tính chẵn lẻ là luyện xác lập của hàm số cần đối xứng qua quýt điểm 0, tức là
2. Để hàm số sẽ là chẵn cần thiết thêm thắt ĐK f(-x) = f(x)
3. Để hàm số sẽ là lẻ cần thiết thêm thắt ĐK f(-x) = -f(x)
4. Nếu thiếu hụt ĐK 1 hoặc cả nhị ĐK 2 và 3 thì coi như hàm số không tồn tại tính chẵn lẻ.

Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Trong mặt mày bằng tọa phỏng Descartes:

• Đồ thị của từng hàm số chẵn đều nhận trục Oy thực hiện trục đối xứng.
• Đồ thị của từng hàm số lẻ đều nhận gốc tọa phỏng thực hiện tâm đối xứng.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

1. ^ The words map, mapping, transformation, correspondence, and operator are often used synonymously. Halmos 1970.
2. ^ This definition of "graph" refers vĩ đại a set of pairs of objects. Graphs, in the sense of diagrams, are most applicable vĩ đại functions from the real numbers vĩ đại themselves. All functions can be described by sets of pairs but it may not be practical vĩ đại construct a diagram for functions between other sets (such as sets of matrices).
3. ^ The sets X, Y are parts of data defining a function; i.e., a function is a phối of ordered pairs with , together with the sets X, Y, such that for each , there is a unique with in the phối.
4. ^ This follows from the axiom of extensionality, which says two sets are the same if and only if they have the same members. Some authors drop codomain from a definition of a function, and in that definition, the notion of equality has vĩ đại be handled with care; see, for example, “When vì thế two functions become equal?”. Stack Exchange. ngày 19 mon 8 năm năm ngoái.
5. ^ called the domain of definition by some authors, notably computer science